Nel settore dell’energia del moto ondoso è ancora aperto il dibattito sulla convergenza verso una o più tecnologie da utilizzare. Di conseguenza, sono molti i dispositivi proposti e caratterizzati da un’ampia varietà di parametri, tra cui la vicinanza alla linea di costa, la dimensione e il principio di estrazione della energia. Pertanto, lo studio della dinamica in queste tecnologie richiede approcci teorici ugualmente variegati. Di seguito verranno evidenziati i convertitori di energia da moto ondoso dove l’estrazione dell’energia coinvolge movimenti oscillatori, perché tra essi rientrano le tecnologie considerate più promettenti per diffusione e dimensioni. I dispositivi appartenenti a tale categoria sono, di base, costituiti da un catturatore (che raccoglie l’energia delle onde grazie a movimenti oscillatori indotti), da una presa di forza (responsabile della conversione dell’energia meccanica in elettricità) e da un sistema di ancoraggio che mantiene in posizione il Wec (Wave energy converter). Per analizzare la dinamica di un Wec si applica la seconda legge di Newton, che afferma che la forza d’inerzia è bilanciata dalla risultante delle forze che agiscono sul catturatore del Wec. È pertanto possibile scomporre l’intera forza in due parti: fonte idrodinamica e fonti esterne. La fonte idrodinamica comprende la forza di eccitazione (esercitata dalle onde incidenti), la spinta idrostatica (dovuta al variare della sommersione per via dei movimenti oscillatori) e la forza di radiazione sulla superficie sommersa (legata alla pressione e limitata dall’ acqua che viene spostata dalle oscillazioni del dispositivo). Inoltre, il movimento del dispositivo può essere limitato anche da forze esterne, tra cui la presa di forza e il sistema di ormeggio.
Modello generico di Wec
in ambiente Simulink/Matlab
In generale, l’interazione idrodinamica tra i Wec e le onde oceaniche è un complesso processo non lineare di grado elevato che, in particolari condizioni, può essere semplificato. Nel caso delle onde e delle oscillazioni del dispositivo che derivano da movimenti poco ampi, questo problema idrodinamico si affronta con un approccio lineare. Pertanto, nell’ambito di un approccio lineare interamente idrodinamico e con forze lineari imposte sia dalla presa di forza che dal sistema di ancoraggio, la prima fase di modellazione della dinamica del Wec avviene tradizionalmente nel dominio della frequenza. Il risultato è che tutte le quantità fisiche variano in modo sinusoidale in funzione del tempo, in base alla frequenza delle onde incidenti. Di conseguenza, in queste circostanze le equazioni di movimento diventano un sistema lineare, che può essere risolto con Matlab attraverso vari approcci. Tuttavia, i cosiddetti metodi diretti sono in genere più rapidi e applicabili in una ampia generalità di casi. Nella loro essenza, tali metodi sono delle varianti del metodo di eliminazione gaussiana e vengono spesso espressi come fattorizzazioni di una matrice, come ad esempio la fattorizzazione LU o la fattorizzazione di Cholesky. In questo contesto, la correlazione tra il dominio della frequenza e il dominio del tempo avviene, grazie a Matlab, attraverso una nutrita collezione di funzioni predefinite per il calcolo e l’interazione con le trasformate di Fourier. Nello specifico, la trasformata veloce di Fourier, è un algoritmo estremamente efficiente per scomporre un segnale temporale nelle sue sinusoidi costituenti.
Nonostante la ristretta applicabilità, limitata ai problemi lineari in cui è valido il principio di sovrapposizione degli effetti, l’approccio basato sul dominio della frequenza è estremamente utile: esso, infatti, consente di valutare immediatamente le prestazioni del Wec nelle specifiche circostanze di riferimento. È questo il motivo per cui tale approccio viene ampiamente utilizzato per ottimizzare la geometria dei Wec. In generale, l’approccio basato sul dominio della frequenza richiede l’applicazione di codici numerici per calcolare la radiazione lineare e le forze di eccitazione che agiscono sul dispositivo. Essenzialmente, questi codici sono modelli di riferimento tridimensionali di radiazione-diffrazione, basati sulla classica teoria lineare del moto ondoso e del flusso potenziale.
Al di là dell’utilità dell’approccio basato sul dominio della frequenza, in molti casi concreti la dinamica dei Wec contiene alcune parti fortemente non lineari, dove il principio di sovrapposizione non può essere applicato. Fra tali casi rientrano, ad esempio, le forze non lineari indotte dal sistema di ormeggio e dalla presa di forza. Per questo motivo, un’analisi corretta delle componenti non lineari del problema deve essere eseguita nel dominio del tempo.
Varie metodologie disponibili
Nell’analisi nel dominio del tempo, una particolare difficoltà è costituita dal calcolo della forza di radiazione, perché viene inclusa un’operazione di convoluzione tra la velocità e una funzione di risposta all’impulso. Una tecnica conveniente per affrontare questo problema è il metodo dello spazio degli stati, nato e applicato ampiamente nel settore dell’ingegneria del controllo, ma anche dimostratosi utile nei problemi di idrodinamica, tra cui l’analisi dei Wec. Questo metodo consente di rappresentare l’integrale di convoluzione della forza di radiazione attraverso un piccolo numero di equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti costanti. Sono state proposte varie metodologie per derivare esplicitamente i coefficienti delle equazioni differenziali dalla funzione di risposta all’impulso specificato, oppure direttamente dal coefficiente dipendente dalla frequenza, o dalla funzione di trasferimento. Per ragioni di comodità di calcolo, i metodi ampiamente utilizzati sono due. Il primo si basa sull’approssimare la funzione di risposta alla impulso attraverso una combinazione di funzioni esponenziali nel dominio del tempo; il secondo approssima la funzione di trasferimento mediante una funzione razionale complessa. Matlab supporta entrambe le opzioni all’interno del Signal Processing Toolbox. Nello specifico, il metodo di Prony individua un filtro IIR con una specifica funzione di risposta all’impulso nel dominio del tempo, mentre la funzione invfreqs identifica i parametri di filtro a tempo continuo da una funzione di trasferimento indicata.
Considerando piccole onde e piccoli movimenti del corpo rigido del dispositivo, la forza di eccitazione risultante è indipendente dal movimento del dispositivo e può così essere usata come input del sistema lineare al posto dell’onda incidente. Nonostante ciò, per ragioni pratiche nel contesto dei Wec è più adeguato identificare le onde incidenti e prenderle come input del sistema. Per caratterizzare le onde incidenti è particolarmente utile il package Wafo (Wave Analysis for Fatigue and Oceanography) basato su Matlab e progettato specificamente per l’analisi statistica e la simulazione di onde e carichi casuali. Il Wafo contiene funzioni per la simulazione di onde gaussiane lineari e non lineari, per la stima degli spettri di frequenza, degli spettri delle onde direzionali e degli spettri modello. Per modellare la dinamica del Wec è poi necessario costruire un sottosistema in cui l’input sia l’onda incidente e l’output sia la forza di eccitazione dell’onda che agisce sul dispositivo. Questo sottosistema può essere costruito come descrizione dello spazio degli stati, così come descrizione della forza di radiazione. Come per la risposta all’impulso di radiazione, anche la risposta alla impulso di eccitazione deriva dall’applicazione dei codici di radiazione-diffrazione descritti in precedenza. Tuttavia, a differenza della risposta all’impulso di radiazione, la risposta all’impulso di eccitazione non è causale e quindi è necessaria anche una causalizzazione.
Per completare la modellazione idrodinamica di un Wec occorre includere la forza idrostatica. In generale, questa forza viene descritta da una funzione non lineare dello spostamento del Wec, che dipende dalla geometria del dispositivo. Tale funzione può essere linearizzata per piccoli movimenti. Pertanto, il sotto-blocco idrostatico viene generalmente implementato come funzione lineare statica dello spostamento del Wec: di conseguenza, non ha dinamica. Analogamente, anche la dinamica dell’ormeggio può essere trascurata, poiché la dinamica dei cavi di ancoraggio non ha effetto di memoria significativo. Per tale motivo, la forza di ormeggio può essere modellata da un’aggiuntiva forza non lineare di richiamo. Se lo spostamento del Wec è ridotto, è possibile linearizzare anche la forza di richiamo dovuta al sistema di ormeggio. Al contrario, la presa di forza è caratterizzata da forti non-linearità (dovute alle sue limitazioni di corsa e di forza) e generalmente implica dinamiche importanti, quali ad esempio l’inerzia di una turbina, la complessità della strategia di controllo, ecc.
In questo modo la dinamica complessiva di un Wec è costituita da una serie di equazioni differenziali ordinarie non lineari, il cui ordine dipende dalla complessità della dinamica di ciascun sotto-blocco. Ad esempio, l’ordine di ogni sotto-blocco di un Wec con grado di libertà singolo è tipicamente: 3-6 per l’eccitazione, 3-5 per la radiazione, 1-3 per la presa di forza e 2 per le dinamiche del corpo rigido del dispositivo. Per calcolare la dinamica totale di un Wec, Matlab fornisce una serie di solutori per problemi ai valori iniziali che utilizzano equazioni differenziali stiff, moderatamente stiff e non stiff. Generalmente, il solutore ode45, basato sulla coppia di Dormand-Prince (una coppia di metodi Runge- Kutta espliciti di ordine 4 e 5) è considerato il miglior primo approccio alla soluzione della maggior parte dei problemi.
